La paradoja del cumpleaños

Buscando si existe una palabra en español para denominar a dos personas que han nacido el mismo día -Coetáneos-, encontré este dato interesante:

"El problema del cumpleaños, también llamado paradoja del cumpleaños, establece que de un conjunto de 23 personas, hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día.

Para 57 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido de que es una verdad matemática que contradice la común intuición.

Mucha gente piensa que la probabilidad es mucho más baja, y que hacen falta muchas más personas para que se alcance la probabilidad del 50%. Si una habitación tuviera 367 personas, por el Principio del palomar sabemos que habría al menos dos personas cumpliendo años en la misma fecha, ya que un año normal tiene 365 días, y uno bisiesto tiene 366."

El cálculo.

El resultado no es una paradoja matemática, es algo comprobable (además fácilmente) matemáticamente. El calificativo de paradoja le viene por lo contrario que parece a la intuición.

Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas n<=365 (ya que si hay más de 365 la probabilidad es 1) la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan los años el mismo día. A esa probabilidad la llamaremos p. Después calculamos la probabilidad de que haya alguna realizando la operación 1-p. Calculemos p (tomaremos el año con 365 días):

Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá los años un cierto día. Tomamos otra de las personas. La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es 364/365 (casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es 363/365 (por la misma razón que antes). Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es 362/365, y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos (que nadie coincida) es el producto de todas esas probabilidades. Para n personas nos queda la siguiente expresión:

Usando factoriales podemos escribir esa expresión así:

Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos haya una pareja que sí coincida será 1-p. Es decir, la probabilidad de que en una reunión de n personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:

Con n=22 obtenemos una probabilidad de 0.475695. Con n=23 ya pasamos el 50%, exactamente obtenemos una probabilidad de 0.507297. Con n=25, el del ejemplo del principio, estamos ya en 0.5687.

Y no les digo nada si aumentamos un poco más el número de personas del grupo. Les dejo unos cuantos resultados:

Para n=30, la probabilidad es de 0.706316, poco más del 70%.

Para n=35, la probabilidad es de 0.814383, poco más del 81%.

Para n=40, la probabilidad es de 0.891232, casi del 90%.

Para n=45, la probabilidad es de 0.940976, cerca del 95%.

Para n=50, la probabilidad es de 0.970374, más del 97%.

Para n=60, la probabilidad es de 0.994123, ¡¡más del 99%!!.

La cuestión es que generalmente cada persona tiende a imaginar la probabilidad de que, partiendo de una persona concreta, haya otra que coincida en cumpleaños con ella. La probabilidad de ésto es muy baja con 23 personas. La clave del tema es que hay multitud de posibles parejas que pueden formarse conforme vamos aumentando el número de personas del grupo. Por eso la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.

El Origen del Cumpleaños

De Egipto fue tomada la idea del ritual de “cumpleaños”, donde se celebraba sólo el del Faraón, el de la reina y el de los miembros varones de la realeza. En la antigüedad el simple hecho de mantenerse con vida era suficiente motivo de celebración. La idea era proteger al celebrado de los demonios y garantizar su seguridad durante el año entrante.

De Egipto pasó a otros lugares. Los griegos celebraban mensualmente el “cumpleaños” de sus dioses. Los emperadores romanos daban grandes fiestas con paradas, circos y combates en honor de sus propios cumpleaños y el de sus dioses.

Hasta el siglo IV el cristianismo rechazó la celebración de cumpleaños proclamando que sería pecaminoso celebrar el nacimiento de Cristo como si éste fuese un faraón.

Cuando se empezó a difundir la fiesta de la Navidad como cumpleaños de Cristo, con el tiempo, también los cristianos comenzaron a festejar sus propios cumpleaños uniéndose al de su Salvador.

Este ritual, nacido dentro del dominio de la magia y la religión, fue incorporando costumbres de diferentes lugares y culturas al igual que en el caso de la navidad (fiesta pagana que también terminó siendo aceptada por la Iglesia Católica).

Aún hoy en día, existen religiones que no celebran cumpleaños. Para algunos, se presentan bajo un aspecto desfavorable las celebraciones de cumpleaños que se mencionan en la Biblia,  aunque esta solo hace referencia a solo dos de tales celebraciones:

Gén. 40:20-22: “Ahora bien, al tercer día resultó que era el cumpleaños de Faraón, y él procedió a hacer un banquete [...] Por consiguiente, volvió al jefe de los coperos a su puesto de copero [...] Pero al jefe de los panaderos lo colgó.”

Mat. 14:6-10: “Cuando se celebraba el cumpleaños de Herodes, la hija de Herodías danzó en la función, y tanto agradó a Herodes que él prometió con juramento darle cualquier cosa que pidiese. Entonces ella, aleccionada de antemano por su madre, dijo: ‘Dame aquí en una bandeja la cabeza de Juan el Bautista.’ [...] [Él] envió e hizo decapitar a Juan en la prisión.”

Los testigos de Jehová, por ejemplo, toman nota del hecho de que la Palabra de Dios presenta un informe desfavorable sobre las celebraciones de cumpleaños y, por lo tanto, las evitan.

Los griegos creían que toda persona tenía un espíritu protector que estaba presente el día de su nacimiento y cuidaba de ellos durante su vida. Este espíritu tenía una relación mística con el dios en cuyo día de cumpleaños la persona nacía. Los romanos también aceptaban esta idea. Como resultado, hasta hoy tenemos nuestra Hada Madrina, nuestro Ángel Guardián y/o nuestro Santo Patrón. La Iglesia Católica, que no terminaba de aceptarlo, proponía ponerle al niño el nombre del santo del día en que éste nacía y así lo que se celebraría cada año sería el “santo”.

En casi todas las culturas, la luna fue diosa de la fertilidad (de los nacimientos) porque su ciclo de 28 días se relacionaba con el ciclo de la mujer. La costumbre de las tortas dulces comenzó con los griegos, que las ponían en los altares de la diosa de la luna en sus celebraciones. Por eso, la forma redonda de las tortas y la vela encendida sobre ésta, porque la representaban en forma y luz.

Una creencia antigua era que el círculo de velas protegía al homenajeado de los malos espíritus durante un año. Y también desde tiempos muy antiguos se utilizaban velas porque se consideraban dotadas de magia especial para conceder deseos.

En el siglo III, los devotos de Artemisa, diosa de la luna, la honraban el sexto día de cada mes, con una torta en la que se colocaban velas de cera. Según la leyenda, ella misma se encargaba de apagarlas con un soplo de aire que descendía de la ventana, en la parte superior del templo. Un ritual similar repetían los guerreros antes de salir de cacería. Alrededor del pan que se ofrendaba, los hombres se reunían portando cada uno una antorcha en la mano.  Aquel que apagaba la antorcha de un golpe tenía derecho de pedir un deseo, que sería otorgado por la diosa Artemisa.

Otra leyenda dice que la tradición de soplar la vela y pedir tres deseos viene desde mediados de siglo IV durante los festejos del cumpleaños de Alejandro III de Macedonia, Alejandro Magno, a quien le encantaban los pasteles. Se pusieron velas para alumbrar y decorar la mesa.  En esa ocasión, Alejandro pidió derrotar al Imperio Persa y sopló las velas con toda su fuerza, el pedido se cumplió y, desde entonces, el rey siguió cada año, repitiendo el mismo ritual de los deseos.

Los saludos de cumpleaños tienen poder para bien o para mal porque se suponía en la antigüedad que en este día el cumpleañero estaba más cerca del mundo de los espíritus.

De los persas se adquirió la idea de celebrar con dulces.

Como en todos los rituales del mundo, el canto y la música también forman parte de esta celebración. Y en casi todos los países del mundo se canta el "Cumpleaños Feliz" con la misma música, pero en la lengua del lugar. Esta música, con su correspondiente letra, no fueron escritas para ningún cumpleaños sino para que los alumnos se diesen los buenos días en clase. El título original de esta pequeña canción era "Good morning to all" y fue escrita por dos hermanas profesoras estadounidenses a fines del siglo XIX.

Los derechos de autor de aquella música, con la letra ya cambiada por la de "Happy birthday to you", fueron registrados en 1935 y vendidos a Warner Music que cobraría por el uso lucrativo de la canción hasta el año 2030 en Estados Unidos. Este fue el motivo de su gran difusión. En 2015 un juez norteamericano dictaminó que 80 años y millones de dólares habían sido suficiente y pasó a ser de dominio público. Según el Libro Guinness de los Récords es la canción más popular en lengua inglesa.

Aquí la pequeña canción con la letra original: